Родился 25 февраля 1914 года в городе Днепропетровске.
Судьба Евгения Степановича Березняка обычная и в то же время героическая: это судьба воина и педагога. Свою трудовую деятельность он начал в 1933 году учителем сельской школы. В 1935-1939 годах был директором Новоселовской средней школы на Днепропетровщине, а с октября 1939 года и до начала войны заведовал Львовским городским отделом народного образования.

С октября 1941 года Е.С. Березняк активно включился в подпольную борьбу с немецко-фашистскими оккупантами на Днепропетровщине, был пропагандистом и связным Петропавловского подпольного райкома и Днепропетровского обкома партии. В книге генерала Асмолова "Фронт в тылу вермахта" дается такая оценка его деятельности: "Действуя нередко в одиночку, Е.С. Березняк совершал смелые диверсии и наносил ущерб врагу везде, где только мог. Евгения Степановича отличали хладнокровие и дерзость, риск и находчивость, знание немецкого языка".

В конце 1943 года Евгений Березняк был направлен в Москву в школу Главного разведывательного управления, после окончания которой он возглавил группу военных разведчиков под кодовым названием "Голос". В ночь на 19 августа 1944 года группа десантировалась на территории Польши под Краковом и в этом районе выполняла боевое задание 156 дней.

Величие подвига военных разведчиков группы "Голос" во главе с Е.С. Березняком вписано золотыми буквами в историю Великой Отечественной войны. За сравнительно короткий срок своей деятельности в тылу врага группе удалось полностью разведать Краковский укрепрайон, собрать и передать в штаб 1-го Украинского фронта достоверную информацию о дислокации фашистских армий, корпусов и дивизий, воздушных эскадр. Важнейшими операциями группы были: получение от немецкой абвер-команды ? 115 плана заминирования Кракова, раскрытие состава, вооружения и дислокации всех дивизий и корпусов, входивших в состав 17-й полевой армии, державшей оборону перед войсками 1-го Украинского фронта.

После выхода группы "Голос" из вражеского тыла командование фронта дало такую оценку ее деятельности: "Материалы, полученные от группы "Голос", которая действовала в исключительно тяжелых условиях, были исключительно точны и важны, все разведывательные донесения подтвердились боями".

Подвиг разведчиков группы "Голос" под руководством Е.С. Березняка по спасению от уничтожения древней столицы Польши - центра славянских культур города Кракова - раскрывается в кинокартине "Майор Вихрь" и в польском фильме "Сохранить город", а также в документальных фильмах "Теперь их можно назвать" (СССР) и "Операция "Голос" (Польша).

После Победы Е.С. Березняк вернулся к мирной профессии - воспитанию подрастающего поколения. С конца 1945 и до 1952 года он возглавлял Львовский городской отдел народного образования, был избран депутатом Львовского горсовета. В 1952-1954 годах работал начальником отдела учебных заведений Львовской железной дороги. На протяжении 30 лет (1954-1984) занимал высокие посты в Министерстве просвещения Украины, из них почти 25 лет был начальником Главного управления школ, членом коллегии министерства.

В 1961 году Евгению Степановичу было присвоено почетное звание Заслуженного учителя Украины, а в 1968 году он защитил кандидатскую диссертацию. В эти же годы Е.С. Березняк избирался членом Президиума ЦК профсоюза учителей, заместителем председателя Республиканского совета мира, более 20 лет был членом редколлегии московского журнала "Народное образование" и активно сотрудничал с этим журналом. Последние годы трудовой деятельности и до 1998 года он работал старшим научным сотрудником Института педагогики Академии педагогических наук Украины.

За 65 лет педагогической и творческой деятельности Е.С. Березняк подготовил и издал шесть монографий, более 100 научных публикаций по вопросам управления в системе народного образования, обучения и воспитания учащихся. Его труды издавались в Киеве, Москве, Белоруссии, Монголии. Его перу принадлежат книги: "Я - "Голос", "Пароль - "Думспиро", "Операция "Голос", изданные на русском, украинском, польском, болгарском, узбекском языках общим тиражом около 2 миллионов экземпляров.

Трудовая деятельность и ратный подвиг Е.С. Березняка по достоинству отмечены высокими государственными наградами, в том числе орденами Октябрьской Революции, Отечественном войны I и II степеней, Трудового Красного Знамени, "Знак Почета", а также орденами Украины "За заслуги" и Богдана Хмельницкого, Польши - "Виртути Милитари" и "Партизанский Крест", многими медалями.

Указом Президента Украины Е.С. Березняку назначена пожизненная государственная стипендия, а приказом министра обороны Украины майор Березняк навечно зачислен почетным солдатом Военно-дипломатического института Академии Вооруженных сил Украины.

С апреля 1998 года Е.С. Березняк на пенсии. Он активно участвует в ветеранском движении. Являясь членом Киевского городского совета ветеранов Украины, он часто встречается с солдатами, курсантами и офицерами украинской армии, учащимися школ и студентами высших учебных заведений. Его статьи публикуются в журналах и газетах.

Живет в Киеве.