Родился 14 сентября 1916 года на станции Рогачев Белорусской железной дороги в семье железнодорожного служащего. Отец - Андреев Евгений Николаевич (1880 г.рожд.). Мать - Андреева Феона Федоровна (1888 г.рожд.). Супруга - Андреева Зинаида Семеновна (1920 г.рожд.). Дочь - Радаева Валентина Анатольевна (1945 г.рожд.). Сын - Андреев Михаил Анатольевич (1948 г.рожд.).
В 1931 году Анатолий Андреев окончил семилетнюю школу, в 1933 году - Оршанскую железнодорожную школу ФЗУ и был направлен в паровозное депо станции Орша. Работал слесарем, помощником паровозного машиниста, а с 1935 года - машинистом. Здесь получил свою первую государственную награду - медаль "За трудовое отличие", а в 1940 году был принят кандидатом в члены КП(б)Б.

В июне-августе 1941 года, работая машинистом в прифронтовом районе, А.Е. Андреев участвовал в перевозках войск и эвакуируемого имущества, был машинистом бронепоезда. В сентябре 1941 года в Москве добровольно вступил в партизанский отряд, формируемый начальником паровозного депо станции Орша К.С. Заслоновым. 1 октября 1941 года отряд перешел линию фронта в Ильинском районе Смоленской области и развернул партизанские действия в тылу врага.

Свой боевой путь в составе отряда А.Е. Андреев начал в качестве заместителя начальника разведки - заместителя комиссара отряда, затем комиссара отряда "Заслонов". В ноябре 1941 - феврале 1942 года в составе диверсионной группы К.С. Заслонова он принимал активное участие в подпольно-диверсионной деятельности на Оршанском железнодорожном узле, а затем в боях на территории Витебской и Минской областей, став к тому времени комиссаром объединенных партизанских отрядов Бегомльского района. В сентябре 1942 года в составе объединенных отрядов вышел через линию фронта в расположение советских войск.

В декабре 1942 - марте 1943 года, находясь в распоряжении Белорусского штаба партизанского движения, А.Е. Андреев занимался формированием, обучением и подготовкой парашютно-десантного партизанского отряда имени Комсомола Белоруссии для действий в глубоком тылу противника и с апреля 1943 до августа 1944 года в качестве комиссара и командира этого отряда воевал на территории Белостокской области.

После полного освобождения территории Белоруссии в конце 1944 года А.Е. Андреев был направлен в состав Комиссии уполномоченного правительства БССР по переселению белорусского населения с территории Польши, где проработал до окончания войны. В мае 1945 года вернулся к своей профессии и стал машинистом-инструктором паровозного депо станции Минск.

В феврале 1946 года А.Е. Андреев был избран секретарем бюро парторганизации паровозного депо станции Минск и в том же году его привлекли к работе в оперативной группе Совнаркома БССР по организации вывоза промышленного оборудования из Германии в Белоруссию. В 1948 году он был направлен на учебу в двухгодичную Республиканскую партийную школу, после окончания которой в 1950 году был назначен заведующим отделом транспорта, дорожного хозяйства и связи Управления делами Совета Министров Белорусской ССР.

В 1959 году А.Е. Андреев окончил заочное отделение Высшей партийной школы при ЦК КПСС. В 1960 году его назначили первым заместителем начальника Главного управления автомобильного транспорта при Совете Министров БССР, а в 1961 году - начальником. В 1963 году Главное управление было преобразовано в Министерство автомобильного транспорта Белорусской ССР и А.Е. Андреев был назначен министром. В этой должности он проработал вплоть до выхода на пенсию в 1984 году.

В начале 70-х годов под руководством А.Е.Андреева Министерство автомобильного транспорта республики впервые перешло на полный хозрасчет и самофинансирование, что позволило не только гарантировать своевременную выплату нормативных отчислений в бюджет, но и значительно повысить качество работ и услуг, снизить их себестоимость, улучшить условия труда и быта транспортников. Результаты этого эксперимента изучались и широко использовались в других отраслях народного хозяйства республики, а также в ряде союзных республик. За выдающиеся достижения в труде в 1976 году ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

Занимая высокие и ответственные государственные посты, А.Е. Андреев вел активную общественную деятельность. Его неоднократно избирали членом ЦК Компартии Белоруссии, заместителем председателя Ревизионной комиссии КПБ, депутатом Верховного Совета Белорусской ССР, а в 1989 году - народным депутатом СССР. В 1968-1988 годы он являлся заместителем председателя центрального правления Общества советско-вьетнамской дружбы и председателем Белорусского отделения этого общества.

После выхода на пенсию А.Е. Андреев активно включился в работу Всесоюзного совета ветеранов войны и труда. В 1986 году его избрали членом президиума Совета, а 27 марта 1987 года - председателем Белорусского республиканского совета ветеранов войны и труда. В этом качестве он проработал до конца 1994 года и ныне является почетным председателем Совета. С марта 1987 года по апрель 1992 года он также являлся председателем Комиссии по делам бывших партизан и подпольщиков при Президиуме Верховного Совета Белорусской ССР. В 1985 году Анатолий Евгеньевич принимал участие в Параде Победы на Красной площади в Москве, посвященном 50-летию Победы в Великой Отечественной войне.

Родина высоко оценила заслуги А.Е. Андреева в годы войны и в мирное время. Помимо золотой медали "Серп и Молот" он награжден четырьмя орденами Ленина, двумя орденами Отечественной войны I степени, орденами Красной Звезды, белорусским орденом "Отечество" III степени, медалями "За трудовое отличие", "Партизану Отечественной войны" I и II степени, польским орденом "Крест Грюнвальда" III степени и орденом "Дружба" Социалистической Республики Вьетнам. Отмечен пятью Почетными грамотами Верховного Совета Белорусской ССР, почетным знаком "Ганаровы транспартнiк". Ему присвоены звания Почетного гражданина городов Щучина Гродненской области и Орши, а также Мостовского района Гродненской области.

В свободное время Анатолий Евгеньевич любит лыжные и пешеходные загородные прогулки, увлекается плаванием, охотой. Он много читает исторической и современной литературы. Его любимые писатели - А. Толстой, А. Бек, К. Симонов, И. Шамякин. Из артистов выделяет Б. Бабочкина, Б. Андреева, М. Жарова, В. Высоцкого, Н. Еременко, В. Шукшина.

Живает в Минске.