Родился 14 июня 1920 года в Петрозаводске. Отец - Климов Николай Александрович (1884-1946). Мать - Климова Глафира Алексеевна (1889-1964). Супруга - Климова Мария Петровна (1920 г. рожд.). Сын - Климов Николай Анатольевич (1947 г. рожд.). Дочь - Климова Ольга Анатольевна (1953 г. рожд.).

Окончил школу в 1939 году в Ленинграде и поступил в Военно-медицинскую академию имени С.М. Кирова. По окончании академии в июле 1943 года стал старшим врачом 1920го самоходного артиллерийского полка. С января по июль 1944 года был врачом Литовской партизанской бригады "Жальгирис" в тылу немецких войск. В августе 1944 года направлен на должность главного врача в 49-ю тяжелую минометную бригаду. Служил в действующей армии в Центральной группе войск (Чехословакия, Венгрия).

С ноября 1946 года работал научным сотрудником, затем старшим научным сотрудником кафедры биохимии Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова. В январе 1963 года стал директором Ленинградского института антибиотиков. В июле 1965 года направлен в Женеву, где был директором отдела медико-биологических наук Всемирной организации здравоохранения.

Вернувшись в Ленинград в январе 1970 года, руководил лабораторией липидного обмена, отделом биохимии Института экспериментальной медицины АМН СССР. С января 1997 года по настоящее время работает главным научным сотрудником института экспериментальной медицины РАМН.

В течение многих лет занимался изучением антибиотиков, обмена липопротеинов, атеросклероза.

Выполнил ряд фундаментальных исследований. Впервые получил экспериментальный атеросклероз у животных путем многократного внутривенного введения липопротеинов низкой и очень низкой плотности, показав таким образом атерогенность этих классов липопротеинов. Изучил пути и механизмы проникновения указанных классов липопротеинов в артериальную стенку. Установил, что в результате окислительной модификации липопротеины низкой плотности приобретают аутоантигенные свойства и к ним образуются в организме антитела и в конечном счете иммунные комплексы липопротеин-антитело, изучил механизм взаимодействия иммунных комплексов липопротеин-антитело с макрофагами и показал, что в результате такого взаимодействия макрофаги бесконтрольно захватывают эти комплексы, обогащаются эфирами холестеринаи превращаются в пенистые клетки. Выделил из крови и аорты больных ишемической болезнью сердца иммунные комплексы липопротеин-антитело и показал их высокую атерогенность, сформулировал аутоиммунную теорию патогенеза атеросклероза, получившую международное признание. На основании этой теории предложил новые пути лечения атеросклероза - применение иммуномодуляторов и экстракорпоральное удаление аутоиммунных комплексов, нашедшие применение в практической медицине. Установил, что одной из причин защитного антиатерогенного действия липопротеинов высокой плотности является их способность угнетать образование перекисно-модифицированных липопротеинов низкой плотности. Для диагностики и оценки эффективности лечения атеросклероза предложил определение холестеринового коэффициента атерогенности, широко используемое в нашей стране.

В 1973-86 годах возглавил популяционные исследования по изучению распространенности ишемической болезни сердца и ее факторов риска в Москве и Ленинграде, позволившие получить данные большого теоретического и практического значения.

А. Н. Климов - автор более 350 публикаций. Наиболее важные из них: "Иммунобиохимические механизмы развития атеросклероза", "Иммунореактивность и атеросклероз", "Аутоиммунная теория патогенеза атеросклероза", "Антиоксидантный эффект липопротеидов высокой плотности при перекисном окислении липопротеидов низкой плотности", "Эпидемиология и факторы риска ишемической болезни сердца", "Аутоиммунная теория атерогенеза и концепция модифицированных липопротеидов", "Влияние Т-активина на течение ишемической болезни сердца в случаях развития сенсибилизации к апопротеин В-содержащим липопротеидам", "On the participation of lipoprotein-antibody immune complexes inatherogenesis", "Липиды, липопротеиды и атеросклероз", "Обмен липидов и липопротеидов и его нарушения", "Быть или не быть инфаркту".

В 1969 году избран членом-корреспондентом РАМН, с 1975 года - академик РАМН.

А. Н. Климов является членом Российского биохимического общества, Международного атеросклеротического общества, почетным членом Венгерского и Кубинского атеросклеротических обществ, членом Европейского атеросклеротического общества, почетным доктором Института экспериментальной медицины, почетным председателем Санкт-Петербургского отделения Российского биохимического общества. Заслуженный деятель науки РСФСР.

Награжден орденом Октябрьской Революции, двумя орденами Отечественной войны II степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями "За боевые заслуги", "Партизану Отечественной войны" I степени и многими другими.

Увлекается фотографией.

Живет в Санкт-Петербурге.