Родился 4 апреля 1919 года в селе Желудево Шиловского района Рязанской области. Отец - Анашкин Николай Трофимович (1898 г. рожд.). Мать - Анашкина Елизавета Ивановна (1900 г. рожд.). Супруга - Анашкина Антонина Федосеевна (1922 г. рожд.). Дочери: Алевтина Ивановна (1948 г. рожд.), Ольга Ивановна (1957 г. рожд.). Сын - Александр Иванович (1957 г. рожд.)

В 1935 году Иван Анашкин окончил неполную среднюю школу и поступил в Рязанское артиллерийское училище. Как один из лучших его выпускников, был оставлен в нем командовать взводом. Когда началась Великая Отечественная война, лейтенант Анашкин получил назначение на Брянский фронт на должность командира батареи реактивных установок - нового вида оружия, поступившего на вооружение Красной Армии.

Много пришлось потрудиться молодому командиру, чтобы овладеть совершенно новой для него техникой. Но он с честью справился с трудной задачей, сумел сколотить отличные боевые коллективы. И в ночь на 13 сентября 1941 года батарея произвела свой первый залп по наступающим гитлеровцам под городом Глуховом в Сумской области. Готовить данные для стрельбы дивизиона поручили, как отлично подготовленному, Ивану Анашкину, чем он был безмерно горд.

Позднее батарея реактивных установок БМ-13, знаменитых "катюш", под командованием И. Н. Анашкина сыграла исключительную роль в боях в районе Звенигорода Московской области. Достаточно сказать, что боевую задачу тогда командиру батареи Анашкину ставил сам командующий армией генерал Л. А. Говоров. Редчайший случай, но слишком уж сложной и напряженной была тогда обстановка под Москвой. И вот дивизион "катюш", умело маневрируя, наносит ощутимые удары гитлеровцам, неожиданно обрушив на них смертоносные залпы.

В селе Каринском установлен постамент, обозначающий место, откуда в ноябре 1941 года по фашистским захватчикам был произведен огневой залп "катюш" 5-м отдельным гвардейским минометным дивизионом, в составе которого была батарея Анашкина.

За бои под Москвой Иван Николаевич был награжден орденом Красного Знамени.

В последующие годы И. Н. Анашкин воевал на Западном, Центральном и 1-м Белорусском фронтах в качестве командира отдельного гвардейского минометного дивизиона и начальника штаба гвардейского минометного полка. К началу операции "Багратион" по освобождению Белоруссии летом 1944 года Иван Анашкин уже был заместителем командира полка, а вскоре стал командовать гвардейским минометным полком. Закончил свой боевой путь Иван Николаевич Анашкин под Берлином в звании подполковника, кавалером шести боевых орденов.

После войны, в 1946-1947 годах, он оканчивает Ленинградскую высшую офицерскую артиллерийскую школу и получает назначение в родное Рязанское военное артиллерийское училище на должность командира дивизиона курсантов. После окончания Военной академии имени М. В. Фрунзе в 1955 году в течение двух лет служил командиром гвардейской минометной бригады в Киевском военном округе. В 1959-1961 годах И. Н. Анашкин - заместитель начальника Рязанского военного артиллерийского училища. С 1961 по 1963 год служил в должности командира артиллерийской дивизии в Прикарпатском военном округе, а с 1964 по 1983 год - в Центральном аппарате Министерства обороны СССР - заместитель командующего ракетными войсками и артиллерии Сухопутных войск. С 1970 по 1983 год был членом редколлегии журнала "Военный вестник".

В период с 1980 по 1982 год И. Н. Анашкин находился в Афганистане, где принимал непосредственное участие в руководстве боевыми действиями артиллерии Советской Армии и вооруженных сил ДРА.

Ратный путь И. Н. Анашкина на фронте и в войсках в послевоенное время отмечен орденами Ленина, четырьмя орденами Красного Знамени, орденами Суворова II степени, Александра Невского, двумя орденами Отечественной войны I степени, тремя орденами Красной Звезды, орденом Трудового Красного Знамени, орденом Почета, двумя иностранными орденами, множеством медалей. Генерал Анашкин был удостоен звания Почетного гражданина города Звенигорода одновременно с трижды Героем Советского Союза генерал-полковником авиации И. Кожедубом. Он также - Почетный гражданин города Познань (Польская Республика) и села Каринское Московской области.

В 1982 году в издательстве "Московский рабочий" вышла книга воспоминаний ветеранов гвардейских минометных частей "Вышли на фронт Катюши", в которой опубликованы и две статьи И. Н. Анашкина: "Подмосковная крепость" и "За Одером". Всего он является автором двух книг, и более 10 статей.

В 1985 году, уволившись в запас, генерал-лейтенант И. Н. Анашкин перешел на работу в Московский НИИ педиатрии и детской хирургии Минздрава России, где в качестве начальника штаба по Гражданской обороне он работает и поныне. Он является председателем Объединенного совета ветеранов гвардейских минометных частей и артиллерии резерва Верховного Главного командования Московского комитета ветеранов.

Иван Николаевич с удовольствием встречается с молодежью, выступает перед школьниками и студентами. Свободное время использует для культурного отдыха, общения с детьми, внуками и правнуками (всего их у него семеро). Любит читать книги по истории, смотреть отечественные фильмы, русские народные песни.

Живет и работает в Москве.