Родился 27 марта 1923 года в городе Одессе. Отец, Бубнов Петр Владимирович (1898-1970), - участник Первой мировой и Гражданской войн, кадровый военный, член партии с 1919 года. Мать, Бубнова Клара Наумовна (1897-1978), - врач, участница обороны Москвы. Супруга, Бубнова Татьяна Федоровна (1925 г. рожд.), в годы войны работала на оборонном заводе, ветеран труда. Дочь, Бубнова Елена Марковна (1949 г. рожд.), окончила Московский архитектурный институт, работает по специальности.
Детство Марка Бубнова прошло на границах с Польшей и Румынией, где в пограничных войсках служил его отец. В 1934 году отец поступил в Военную академию бронетанковых войск, и семья переехала в Москву. В 1938 году он был арестован и сослан в Колымский край. Лишь в 1956 году был реабилитирован и вернулся домой.

Несмотря на тяжелые материальные условия жизни, Марк продолжал учебу в средней школе, посещал архитектурную студию при московском городском Доме пионеров, увлекался спортом, особенно стрельбой, выступал за сборную команду района.

Когда началась война, вступил в отряд МПВО и вместе с друзьями-школьниками дежурил во время воздушных налетов на крышах и чердаках домов, гасил "зажигалки". Осенью 1941 года учеников школ Первомайского района (среди них был и Марк) направили на трудовой фронт под Истру.

После окончания 10-го класса в июле 1942 года был призван в армию и направлен для прохождения службы в 15-й отдельный учебный танковый полк Московского военного округа. В декабре 1942 года Марк Бубнов получил звание старшего сержанта - механика-водителя танка и отправился на Кировский танковый завод, где формировались танковые экипажи и маршевые роты. После приемки материальной части танкистов погрузили в эшелон и отправили в действующую армию, в 59-й отдельный танковый полк. 7 января 1943 года был тяжело ранен и направлен в эвакогоспиталь для лечения. Там ему пришлось ампутировать кисть левой руки, и в июле 1943 года он был демобилизован инвалидом третьей группы.

Вернувшись домой, в сентябре 1943 года М. Бубнов поступил в Московский архитектурный институт, который окончил в 1949 г., получил направление в "Мосгипротранс" Министерства путей сообщения СССР. Работу начал под руководством архитекторов А. Н. Душкина и Б. С. Мезенцева на строительстве высотного дома у Красных ворот. Потом разрабатывал рабочие чертежи железнодорожных вокзалов в Сочи, Симферополе и других городах. В Москве по его проектам были построены многоэтажные дома на Красносельской и Краснопрудной улицах, в Вешняках и других районах столицы.

В 1960 году М. П. Бубнов перешел на работу в Управление по проектированию Дворца Советов на должность главного архитектора проекта, где работал под руководством А. В. Власова. Впоследствии Управление было преобразовано в ЦНИЭП зрелищных зданий и спортивных сооружений. С 1968 года М. Бубнов руководил мастерской ?1. За этот период под его руководством выполнено огромное количество проектов крупных общественных зданий, многие из которых реализованы. В их числе: театры в Липецке, Абакане, Кызыле; кинотеатры в Тольятти, Набережных Челнах, Москве, Челябинске, Риге, Белгороде, Киеве, Кисловодске и других городах; санаторные комплексы "Загорские дали" в Кубинке и "Золотой пляж" в Крыму; Дом Советов во Владимире; центры городов Архангельска, Тольятти, Набережных Челнов; концертный зал на 2500 мест в Тольятти, спортзал на 500 мест в Набережных Челнах и другие. За рубежом М. Бубновым были выполнены проекты телебашни в Багдаде (Ирак) и здания Посольства СССР в Париже.

М. П. Бубнов неоднократно участвовал в различных конкурсах, имеет ряд наград и дипломов, полученных на всесоюзных смотрах, одну серебряную и четыре бронзовые медали ВДНХ СССР. В 1993 году коллектив архитекторов под его руководством одержал победу в конкурсе на лучший проект станции метро "Парк Победы", строительство которой ведется в настоящее время.

В 1992 году М. П. Бубнов был избран членом-корреспондентом, а в 1999 году - действительным членом Международной академии архитектуры. Однако его деятельность не ограничивается лишь архитектурой. Так, в 1997 году он получил сразу пять патентов на изобретения в области машиностроения, в том числе два патента на автомобиль с автоматической передачей, который главным образом ориентирован на инвалидов.

М. П. Бубнов - лауреат двух премий Совета Министров СССР (1972, 1984), Государственной премии РСФСР (1974 г.), Заслуженный архитектор РСФСР (1977 г.), удостоен Почетной Грамоты Президиума Тувинской АССР (1983 г.), награжден орденами Трудового Красного Знамени (1973 г.), Дружбы народов (1981 г.), Отечественной войны I степени (1985 г.), многими медалями.

Живет и работает в Москве.