Родился 16 апреля 1921 года в Москве. Отец - Молотков Павел Васильевич (1881-1967). Мать - Молоткова Евгения Ивановна (1896-1969). Супруга - Молоткова Валентина Алексеевна (1923 г. рожд.). Дочь - Молоткова Валентина Анатольевна, доцент Московской консерватории, пианистка романтического направления, много концертирует.
В 1938 году окончил среднюю школу. Одновременно с аттестатом зрелости получил свидетельство пилота в аэроклубе "Динамо". Начавшаяся война застала Анатолия слушателем Военно-воздушной академии имени Н. Е. Жуковского. Во время первых воздушных налетов вражеской авиации на Москву он принимал участие в обороне Центрального аэродрома и прилегающих к нему военных авиационных заводов, боролся с зажигательными авиабомбами.

После окончания академии и предварительной двухмесячной стажировки в 3-й воздушной армии Калининского фронта в феврале 1943 года Анатолий Молотков получил назначение в действующую армию помощником командира по воздушно-стрелковой службе 304-й авиационной истребительной дивизии, воевавшей в составе 7-го истребительного корпуса.

Командир полка полковник Филиппов с двумя орденами Ленина на груди принял Анатолия Молоткова не слишком дружелюбно, считая, вероятно, что его назначили по протекции. Однако уже через полгода старшего лейтенанта Молоткова повышают в должности и назначают помощником командира авиадивизии, которая готовилась к перелету на Воронежский фронт.

С марта 1943 года до окончания Великой Отечественной войны эта дивизия активно участвовала в битве на Курской дуге, освобождении Правобережной Украины, Корсунь-Шевченковской, Яссо-Кишиневской, Львовско-Сандомирской, Висло-Одерской и Берлинской операциях.

В составе боевого расчета управления дивизией капитан Молотков участвовал в боевых вылетах, управлял истребителями с наземных командных пунктов, обучал молодое пополнение летчиков воздушной стрельбе.

В 1945 году корпус получил гвардейское звание и стал именоваться 6-м гвардейским истребительным Львовским авиационным корпусом, а дивизия под командованием Героя Советского Союза полковника П. П. Крюкова, бывшего наставника А. И. Покрышкина, в которой воевал А. П. Молотков, получила наименование 23-й гвардейской Черкасской орденов Красного Знамени и Богдана Хмельницкого. К концу войны в состав корпуса входили три истребительные авиадивизии, в том числе легендарная 9-я гвардейская под командованием трижды Героя Советского Союза полковника А. И. Покрышкина, дивизия под командованием Героя Советского Союза Л. И. Горегляда - будущего генерал-майора, друга и наставника первых советских космонавтов.

Закончил войну А. П. Молотков 13 мая 1945 года, когда уже после капитуляции летчики авиакорпуса участвовали в подавлении очагов сопротивления на юге Германии. Его боевой путь отмечен орденами Красного Знамени, Отечественной войны I и II степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями, а также чехословацкими наградами - орденом Красного Знамени и медалью "За храбрость".

После войны А. П. Молотков продолжал служить в составе родной дивизии. Он освоил сразу две специальности - летчика-истребителя и инженера-механика, что тогда было весьма редким явлением. Ему было поручено возглавить работу по переучиванию летчиков, летавших на бомбардировщиках Пе-2, на истребителей. Всего он лично научил около 20 бывших бомбардировщиков искусству высшего пилотажа и приемам воздушного боя.

В 1947 году, после расформирования 23-й авиадивизии, майора Молоткова назначили помощником командира 5-го истребительного авиакорпуса по воздушно-стрелковой службе. Командир авиакорпуса В. Н. Вусс поручил ему возглавить переподготовку летчиков 521-го авиаполка на первые реактивные самолеты МиГ-9 и Як-15. В феврале 1948 года А. Молотков был назначен старшим летчиком-испытателем Государственного Краснознаменного научно-испытательного института Военно-Воздушных Сил.

В среде испытателей в те годы часто цитировали фразу И. В. Сталина: "Для всех война окончена, а для летчиков она продолжается". Действительно, в послевоенные годы советская авиационная промышленность создала первые образцы самолетов с реактивными двигателями, разработанные А. И. Микояном, А. С. Яковлевым, А. Н. Туполевым, С. В. Ильюшиным, П. О. Сухим, С. А. Лавочкиным, В. М. Мясищевым. Нужно было разрабатывать новые подходы и методы испытаний таких самолетов. Факт, что многие летчики-испытатели, летавшие на винтомоторных самолетах, так и не смогли преодолеть психологический барьер и ушли из авиации. К счастью, это не относится к А. П. Молоткову.

А. П. Молотков активно участвовал в испытаниях одноместных самолетов-истребителей МиГ-17ф, первых сверхзвуковых самолетов МиГ-19 и МиГ-19п, самолета с треугольным крылом МиГ-21 и МиГ-21пф, самолетов-перехватчиков Су-9, Су-15, Як-25, Як-25р, опытного самолета с подвижной пушечной установкой МиГ-СН, штурмовика Ил-40 и многих других. Всего он испытал более 80 типов самолетов. В 1963 году ему присвоили звание "Заслуженный летчик-испытатель СССР".

В 1954 году руководил обучением 10 командиров авиаэскадрилий ПВО ночному перехвату воздушных целей с новым радиолокационным прицелом. В 1956 году лично совершил шесть посадок и взлетов на грунтовом аэродроме спортивной авиации Тушино. Эти полеты абсолютно уникальны и, по всей вероятности, достойны занесения в книгу рекордов Гиннесса. За успешную летно-испытательную работу А. П. Молотков был награжден орденом Ленина.

Через девять лет насыщенной, буквально круглосуточной работы летчиком-испытателем полковник А. П. Молотков назначается на должность первого заместителя начальника Государственного Краснознаменного НИИС ВВС и старшего инженера-летчика-испытателя. Это явилось нарушением традиции, согласно которой заместителем начальника НИИС назначали обычно бывшего главного инженера воздушной армии или округа. Наряду с испытаниями самолетов в этот период ГКНИИ ВВС участвует в отборе первых космонавтов и их тренировках, а летчики-испытатели Г. Т. Береговой и В. Т. Лазарев стали одними из первых покорителей космоса.

В 1965 году генерал-майора А. П. Молоткова назначили заместителем начальника Центрального научно-исследовательского института авиационной и космической техники Министерства обороны СССР, а в 1969 году он стал его начальником. В этой должности он проработал почти 20 лет, установив своеобразный рекорд. За годы работы в этом качестве при участии А. П. Молоткова в институте на базе плановых исследований было защищено свыше 400 кандидатских и более 20 докторских диссертаций. В 1969 году он сам защитил диссертацию на соискание кандидата военных наук, а спустя шесть лет, в 1975 году, - докторскую диссертацию. В 1977 году ему присвоено звание профессора. За выдающиеся достижения в области научных исследований и разработок институт был награжден орденом Красной Звезды, а его начальник - двумя орденами Трудового Красного Знамени и Государственной премией СССР (1979 г.).

В 1988 году А. П. Молотков вышел в отставку в звании генерал-лейтенанта авиации. В настоящее время он работает на кафедре Военной академии ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого. Избран действительным членом академии военных наук и Международной Академии информатизации и академии военных наук, членом-корреспондентом Международной славянской Академии наук, образования, культуры и искусства, удостоен звания "Почетный профессор Академии РВСН имени Петра Великого". Автор более 200 научных трудов.

С 1992 года возглавляет Совет ветеранов Таганского района города Москвы.

Живет и работает в Москве.