Родился 23 марта 1919 года в селе Духовое Лискинского района, Воронежской области. Отец - Грибков Иван Васильевич. Мать - Серафима Кузьминична. Родители воспитали семерых сыновей и трех дочерей. Мать была удостоена почетного звания и ордена "Мать-героиня".

В 1936 году Анатолий Грибков окончил семь классов школы крестьянской молодежи в соседнем с Духовым селе Масловке. Учился, а летом, как и все, работал в колхозе. В 1937-1938 годах учился на механика МТС в Тамбовском техникуме механизации сельского хозяйства. Работал на всех сельскохозяйственных машинах, был трактористом, комбайнером.

В августе 1938 года поступил в Военное бронетанковое училище имени И. В. Сталина в Харькове. В декабре 1939 года был досрочно, как отличник, выпущен из училища лейтенантом и направлен в действующую армию на финский фронт командиром танкового взвода. Там же был принят кандидатом в члены ВКП(б). Командовал пятью танками Т-26. Воевал на севере, на кандалакшском направлении. В одном из боев танк А. Грибкова был подбит. С помощью взвода машина командира была эвакуирована.

Летом 1940 года в составе танковой бригады Анатолий Грибков проходил службу в Латвии до ее вступления в состав Советского Союза, занимал должность помощника начальника штаба отдельного танкового батальона по разведке.

С первых дней Великой Отечественной войны в качестве командира танковой роты в составе 127-й танковой бригады участвовал в боях в Белоруссии и Смоленской области. В сентябре 1941 года получил свою первую боевую награду - орден Красной Звезды из рук будущего полководца генерала-майора К. К. Рокоссовского. В связи с создавшейся сложной обстановкой под Москвой А. Грибкову пришлось быть в должности командира противотанкового 45-миллиметрового орудия. Был награжден медалью "За оборону Москвы".

Отлично проявивший себя опытный командир Анатолий Грибков по решению К. К. Рокоссовского был направлен на краткосрочные курсы в Академию имени М. В. Фрунзе, где проучился пять месяцев. В мае 1942 года в звании капитана был назначен в корпус офицеров - представителей Генерального штаба в войсках, которые направлялись тогда на фронты, в армии, корпуса и дивизии. Эти офицеры руководствовались положением и инструкциями, утвержденными Маршалом Советского Союза Б. М. Шапошниковым, были независимы от командующих, командиров и начальников, при которых находились, имели право беспрепятственно пользоваться всеми средствами связи и передвижения и обязаны были без всяких прикрас докладывать в Генеральный штаб истинную обстановку, положение и состояние войск.

Анатолий Грибков был направлен на Брянский фронт, в 1-й танковый корпус генерала М. Е. Катукова. Затем с октября 1942 года служил в 1-м механизированном корпусе генерала М. Д. Соломатина на Калининском фронте.

В декабре 1942 года в ходе операции "Марс" корпус оказался в окружении, обстановка сложилась критическая. Своими действиями он сковал три танковые дивизии гитлеровцев. 13 декабря Анатолий Грибков передал шифровку в Генеральный штаб: "В 12.00 противник начал наступление со всех сторон. Приказано держаться, поставлено все, что можно, в строй. Питание - остатки конины и хвоя. Будем биться до последнего".

Для организации вывода войск, попавших в окружение, на Калининский фронт прибыл генерал армии Г. К. Жуков. Он запросил мнение командования корпуса об организации выхода из окружения. Прорыв намечался на 23.00 15 декабря двумя пешими колоннами, а три танка Т-34, которые оставались в строю, должны были отвлечь внимание немцев и принять огонь на себя. Предусматривался отсечный огонь на флангах выходящих войск и огненный ориентир, в направлении которого должны идти войска. Г. К. Жуков план утвердил и сделал все, чтобы войска с меньшими потерями вышли из окружения.

Во время прорыва случилось непредвиденное: на танках не оказалось трех членов экипажа. Чтобы не срывать операцию, Анатолий Грибков предложил взять на себя вместе с начальником политотдела полковником Купаревым командование первым танком; на втором разместился комкор с начальником штаба, а на третьем, без башни, положили трех раненых офицеров. В итоге группа танков приняла на себя огонь противника, и хотя танк А. Грибкова был подбит, все остались живы. Выход из окружения в целом прошел по плану.

После боя Анатолию Грибкову и командиру корпуса предстоял доклад Г. К. Жукову. Вместо нагоняя командующий сказал: "Хотя корпус и понес большие потери, но свою задачу выполнил, сковав три танковые дивизии немцев, которые предназначались для действий под Сталинградом". Г. К. Жуков распорядился представить М. Д. Соломатина к ордену Суворова и званию генерал-лейтенанта, а Грибкова к ордену Красного Знамени и званию майора. Так произошла первая встреча Анатолия Грибкова с великим полководцем.

В январе 1943 года А. И. Грибкова направляют офицером-представителем Генштаба при 19-м танковом корпусе генерала И. В. Васильева, действующем на курском направлении. Той зимой образовалась легендарная Курская дуга. Корпус овладел Курском и вышел к городу Севску. Ввиду больших потерь, по донесению А. Грибкова в Генеральный штаб, вопреки решению командующего фронтом генерал-полковника М. А. Рейтера, корпус был выведен в резерв на переформирование. На шифровке, отправленной в Генштаб, М. А. Рейтер написал резолюцию: "1.Корпус вывести в резерв. 2. Грибкова с фронта откомандировать". Эта резолюция дошла до начальника Генерального штаба. В адрес генерала Рейтера пришла ответная шифровка: "Грибков послан в корпус Генеральным штабом, выполняет поставленные перед ним задачи и будет отозван тогда, когда Генштаб сочтет это необходимым". Этот факт - не единственное подтверждение того, что руководство Генерального штаба проявляло доверие к своим представителям, которые с честью выполняли возложенные на них задачи.

При подготовке и проведении сражения на Курской дуге летом 1943 года Анатолий Грибков был офицером - представителем Генерального штаба при 2-м гвардейском Тацинском танковом корпусе генерал-лейтенанта В. М. Баданова. Но за месяц до битвы Баданов случайно подорвался на мине и был отправлен в госпиталь. В должность комкора вступил его начальник штаба полковник А. С. Бурдейный.

Корпус стоял в районе города Короча и предназначался для нанесения контрудара. Дней за двадцать до начала наступления немцев Маршал Советского Союза А. М. Василевский, как представитель ставки Верховного Главнокомандования, собрал руководящий состав Воронежского фронта в районе города Короча. Были приглашены командующие армиями, командиры танковых и механизированных корпусов, в том числе командир и начальник штаба корпуса, которому был прикомандирован А. И. Грибков. Ему также посчастливилось присутствовать на этом совещании.

Офицеры-представители Генштаба при штабах фронта, армий и корпусов представились А. М. Василевскому. Здороваясь с ними, он сказал: "Это хорошо, что вы тоже присутствуете и будете в курсе разговора". В начале совещания он сообщил, что в первых числах июня Верховный главнокомандующий принял окончательное решение о переходе к преднамеренной стратегической обороне на орловском и белгородском направлениях. Послушал командующих и командиров. Хотел еще раз убедиться и при необходимости убедить в правильности принятого решения. Все выступающие единодушно одобрили решение о переходе к обороне на всем Курском выступе как единственно правильное в сложившейся обстановке. Встречу с А.М.Василевским и участие в совещании А. И. Грибков запомнил на всю жизнь.

В ходе оборонительной операции 2-й гвардейский Тацинский танковый корпус наносил контрудар в направлении Короча-Гостищево, где наступала оперативная группа германских войск "Кемпф". 12 июля после шестидневных ожесточенных боев остатки корпуса были выведены под Воронеж на переформирование, а А. И. Грибкова вызвали с отчетом в Генеральный штаб, где он получил новое назначение.

На этот раз в предписании значился Новошахтинск, штаб Южного фронта, где А. И. Грибкову предстояло повышение: быть офицером -представителем Генштаба при штабе фронта по танковым войскам, где готовилась Донбасская наступательная операция, начавшаяся 13 августа 1943 года.

С Южным (4-м Украинским) фронтом А. И. Грибков прошел всю левобережную Украину, Крым, участвовал в освобождении Севастополя. Приходилось часто выполнять поручения А. М. Василевского, который координировал действия войск 4-го и 3-го Украинских фронтов, в 28-й, 51-й и 2-й гвардейской армиях, 2-м и 4-м гвардейских механизированных корпусах, 19-м танковом корпусе. Из рук А. М. Василевского А. И. Грибков получил два ордена Отечественной войны и орден Красной Звезды. В конце мая 1944 года Анатолия Грибкова перевели в Москву, в Оперативное управление Генерального штаба на должность офицера-оператора прибалтийского направления.

После окончания войны полковника А. И. Грибкова, не имевшего высшего образования, особым решением А. М. Василевского направили учиться в академию Генерального штаба. В декабре 1951 года он окончил ее с золотой медалью и дипломом с отличием. После предоставленного отпуска его служба началась в Ленинградском военном округе в должностях: начальника отдела оперативной подготовки, начальника оперативного отдела, начальника оперативного управления штаба округа. В 1958 году Грибкову было присвоено воинское звание генерал-майора. В Ленинградском округе ему пришлось работать под руководством генералов армии А. А. Лучинского, М. В. Захарова и Н. И. Крылова.

В январе 1960 года генерал-майор А. И. Грибков получил направление в Киевский военный округ начальником оперативного управления - заместителем начальника штаба округа. В этой должности он проработал в течение года с двумя командующими - В. И. Чуйковым и П. К. Кошевым. В начале 1961 года А. И. Грибков назначается начальником оперативного управления Главного Оперативного управления Генерального штаба Вооруженных Сил СССР.

Летом 1962 года развернулись кубинские события, известные под названием "Карибский кризис" и ставшие вершиной "холодной войны", когда мир был поставлен на грань ядерной катастрофы. США тогда вели подготовку операции по вторжению на Кубу под кодовым названием "Мангуста".

Руководством Советского Союза во главе с Н. С. Хрущевым было принято решение о недопущении агрессии со стороны США. А. И. Грибков был тогда одним из разработчиков операции, получившей кодовое название "Анадырь". Ее суть заключалась в том, что на Кубу через океан была скрытно переброшена группировка советских войск с новейшим вооружением под командованием дважды Героя Советского Союза генерала армии И. А. Плиева. Ее основу составляли стратегические и тактические ядерные ракеты (Р-12 и Р-14 с дальностью пуска от 2 до 4,5 тысяч километров), а также части ПВО, ВВС, ВМФ и Сухопутных войск численностью 42 тысячи человек. Для их переброски было привлечено 85 морских судов, которые сделали 185 рейсов.

Внезапное появление столь мощной группировки всего в 90 милях от границ США произвело на американских стратегов ошеломляющее впечатление, а население южных штатов охватило состояние близкое к панике: люди в спешке уезжали на север и вглубь территории страны, скупали продукты первой необходимости и средства противохимической и радиационной защиты.

В течение всего кризиса - октябрь и ноябрь - А. И. Грибков с группой генералов и адмиралов находился на Кубе в качестве представителя министра обороны. Перед ним стояла задача как можно быстрее привести войска в боевую готовность и оказать помощь в организации взаимодействия советских и кубинских войск для отражения агрессии со стороны США, подготовка к которой тем не менее продолжалась. Была объявлена блокада Кубы. Обстановка все более накалялась.

Пик кризиса пришелся на 27 октября 1962 года. Именно этот день и решил исход. Благодаря благоразумию президента США Д. Кеннеди и Генерального секретаря ЦК КПСС Н. С. Хрущева удалось предотвратить ядерную катастрофу.

В марте 1963 года правительством А. И. Грибкову было поручено открыть маршрут для беспосадочного перелета через Север самолета Ту-114, на котором в Москву планировался прилет Фиделя Кастро, и уже 1 мая Фидель смотрел парад войск на Красной площади.

В 1963 года за участие в реализации операции "Анадырь" А. И. Грибкова награждают орденом Ленина и присваивают ему звание генерал-лейтенанта. С учреждением ордена "Че Гевары" он удостаивается и этой награды, а в 1999 году Госсовет Кубы наградил генерала орденом "Солидарность".

В 1964 году А. И. Грибков назначается заместителем начальника Главного оперативного управления Генерального штаба. Благодаря министру обороны Р. Я. Малиновскому в июне 1965 года он "вырвался" из штабной работы и был назначен командующим войсками 7-й гвардейской армии. Войска армии дислоцировались в Армении, а ее штаб - в Ереване. По словам Анатолия Ивановича, это были лучшие годы его службы.

В 1969 года А. И. Грибков прибыл в Ленинград на должность первого заместителя командующего войсками Ленинградского военного округа. В декабре 1972 года ему было присвоено звание генерал-полковника. В январе 1973 года его назначают командующим ЛенВО и в том же году награждают орденом Октябрьской Революции.

В октябре 1976 года правительства стран Варшавского Договора назначают А. И. Грибкова начальником штаба Объединенных вооруженных сил, созданных параллельно с подписанием 14 мая 1955 года в Варшаве Договора о дружбе, сотрудничестве, взаимной помощи. Одновременно с решением советского правительства он был назначен первым заместителем начальника Генерального штаба Вооруженных Сил СССР. Ему было присвоено звание генерала армии с вручением Маршальской звезды. В этих должностях он прослужил до 1989 года и сдал должность своему ученику, генералу армии В. Н. Лобову. Этот двенадцатилетний период службы стал для А. И. Грибкова не только военным, но и дипломатическим и политическими В 1992 году А. И. Грибков вышел в отставку с должности генерал-инспектора группы Генеральных инспекторов Министерства обороны.

Всего генерал армии А. И. Грибков, присягнувший Родине в 1938 году, прослужил в Вооруженных Силах 55 календарных и 60 пенсионных лет. За эти годы он не имел ни одного административного или партийного взыскания. За время службы в Армении он избирался депутатом Верховного Совета Республики, членом ЦК и членом Бюро ЦК компартии Армении, был делегатом XXIII съезда КПСС от компартии Армении. В Ленинграде избирался депутатом Ленгорсовета, членом Ленинградского обкома КПСС и членом бюро Ленинградского обкома. На XXV съезде КПСС был избран кандидатом в члены ЦК КПСС, а на XXVI и XXVII съездах партии - членом ЦК. Был делегатом XIX партийной конференции. Неоднократно избирался депутатом Верховного Совета СССР (8, 9, 10 и 11-го созывов).

Награжден 13 орденами Советского Союза, в том числе тремя орденами Ленина, тремя - Отечественной войны, Октябрьской Революции, двумя - Красного Знамени, тремя - Красной Звезды, орденом "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР", а также семью орденами социалистических стран и шестью десятками советских и иностранных медалей. Является Почетным гражданином городов Ярцево (Смоленская область) и Лиски (Воронежская область).

А. И. Грибковым написаны книги: "На службе Советского Союза", "Судьба Варшавского Договора", "Операция "Анадырь", "Исповедь лейтенанта", "Встречи с полководцами". Более ста его работ опубликованы в различных журналах. Он является доктором исторических наук, профессором Российской академии естественных наук и почетным академиком Международной славянской академии.

Живет и работает в Москве.