Родился 8 апреля 1919 года в Елецком районе Липецкой области, в крестьянской семье. Отец - Елецких Никифор Андреевич (1896-1982). Мать - Елецких Александра Кузьминична (1896-1978). Дочь - Наталия Гаврииловна (1948 г. рожд.), преподаватель. Сыновья: Сергей Гавриилович (1956 г. рожд.), работник торговли; Александр Гавриилович (1957 г. рожд.), инженер.

В 1938 году Гавриил окончил Елецкое педагогическое училище. Год проработал учителем физики и математики в средних классах. В сентябре 1939 года призван в армию и зачислен курсантом Харьковского военного училища штурманов. В связи с началом советско-финляндской войны состоялся ускоренный выпуск. В 1940 году Елецких получает назначение летнабом в 225й бомбардировочный авиаполк 17й бомбардировочной авиадивизии Киевского Особого военного округа.

В Великой Отечественной войне участвовал с 22 июня 1941 по 30 апреля 1945 года. Сражался на Юго-Западном, Сталинградском, Южном, 4-м и 1-м Украинских фронтах. Боевой путь летнаба - авиационного разведчика Г.Н. Елецких сначала проходил от Львова до Сталинграда, а затем назад - от Сталинграда до Кракова.

В составе 225го бомбардировочного авиаполка на самолетах СБ, Пе-2, Пе-3 он наносил бомбовые удары по скоплению танковых и автомобильных колонн врага в районах Львова, Ровно, Житомира. Выполнять боевые задачи приходилось на малой высоте (600-900 м). В боях полк нес ощутимые потери, и все же продолжал боевые действия, помогал сухопутным войскам сдерживать рвущегося в глубь страны противника. Так, в районе Киева звено СБ, в которое входил и Г. Елецких, удачно сбросило бомбы на скопление немецких войск и техники. По подсчету стрелков-радистов, возникло 12 очагов пожара.

На смену устаревшим самолетам СБ в авиационные части вскоре поступили новые Пе-2. Елецких направляют в Липецк для переучивания. Освоив новый бомбардировщик, Гавриил Никифорович назначается в 506й бомбардировочный авиационный полк под Харьковом. Этот полк поддерживал там наши войска, бомбил переправы немецких войск на Днепре.

В конце 1941 года в полк поступили самолеты Пе-3. Елецких становится летчиком-разведчиком. Вся его дальнейшая боевая деятельность и послевоенная служба связаны с разведывательной авиацией.

В один из дней Гавриил Елецких вместе с летчиком Петром Рожковым вели разведку по маршруту Харьков, Киев, Белая Церковь, Умань, Черкассы, Кременчуг. В районе Кременчуга самолет попал под плотный огонь зенитной артиллерии. Загорелся правый мотор, скорость полета быстро уменьшалась, упала высота.

Командир корабля П. Рожков предложил прыгать. "Посмотрел я на полетную карту, - вспоминает Елецких, - и вижу: до линии фронта еще идти более 150 км. И сказал командиру:
- Куда прыгать? Нам придется топать и топать. Так что тяни!
- До своей территории не дотянем, собьют истребители, - возразил П. Рожков".

И все-таки самолет еще пролетел несколько десятков километров и сел, как говорят летчики, "на пузо".

Вскоре перед полком встала новая и не менее сложная задача - прикрывать войска Юго-Западного фронта, проводящие наступательную операцию под Харьковом. В одном из полетов загорелся правый мотор, но экипаж Пе-3 продолжал отбиваться от наседавших Ме-109. Пока командир экипажа резким маневром сбивал пламя, разведчик-штурман Елецких вел прицельный огонь по фашистским истребителям. Вдруг Пе-3 вошел в пике. Только совместными усилиями летчика и штурмана удалось вывести машину в горизонтальный полет. На большой скорости самолет, не выпустив шасси, приземлился на мокрый луг. Едва летчики отбежали от него, как взорвался бензобак.

Потом Елецких служил штурманом эскадрильи 8го отдельного разведывательного авиаполка 8й воздушной армии на Сталинградском фронте. В тех ожесточенных сражениях полк имел и победы, и горькие потери. В одном из разведывательных полетов эскадрильи погибают давние и верные друзья Гавриила Никифоровича - Петр Иванович Рожков и Михаил Григорьевич Хляткин. С ними он совершил 150 боевых вылетов.

В феврале 1944 года Гавриилу Никифоровичу Елецких было присвоено звание Героя Советского Союза - так были оценены его 167 боевых вылетов. А всего до конца войны он совершил 212 боевых вылетов. После окончания войны Г. Н. Елецких учится в Военно-воздушной академии, которую оканчивает в 1949 году с золотой медалью. Потом служил начальником штаба бомбардировочного авиаполка в Липецке. В 1953 году он поступил в адъюнктуру Военно-воздушной академии. После ее окончания и защиты диссертации остается в академии преподавателем, а затем старшим преподавателем. Ему присваивается воинское звание полковника и ученое звание доцента.

В 1979 году Гавриил Никифорович уволился из Вооруженных Сил. Г. Н. Елецких - член Совета Клуба авиаторов, ведет активную работу среди молодежи Щелковского района Московской области. Выступления боевого летчика профессиональны, доходчивы и оказывают на молодежь большое воспитательное воздействие.

Награжден Золотой Звездой Героя Советского Союза, орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны I и II степени, Красной Звезды, "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени, многими медалями; имеет награды иностранных государств.

Живет в городе Монино Московской области.